Question

附加题（必做题）
如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）设，异面直线AC₁与CD所成角的余弦值为，求λ的值；
（2）若点D是AB的中点，求二面角D-CB₁-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，以及向量，的坐标，结合，以及异面直线AC₁与CD所成角的余弦值为，得到关于λ的等式，即可求出结论．
（2）先求两个平面法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可求出结论．
解答：解：（1）以CA，CB，CC₁分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标，
因为AC=3，BC=4，AA₁=4，所以A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C₁=（0，0，4），
所以，因为，
所以点D（-3λ+3，4λ，0），所以，
因为异面直线AC₁与CD所成角的余弦值为，
所以 ，解得．…（4分）
（2）由（1）得B₁（0，4，4），因为 D是AB的中点，所以，
所以，，平面CBB₁C₁的法向量 =（1，0，0），
设平面DB₁C的一个法向量=（x，y，z），
则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角D-CB₁-B的大小，
由得令x=4，则y=-3，z=3，
所以=（4，-3，3），
∴cos＜，＞===．
所以二面角D-B₁C-B的余弦值为．   …（10分）
点评：本题主要考察利用空间向量求平面间的夹角．解决这类题目的关键在于求两个平面法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式．