Question

幂函数g（x）=（m²-m-1）x^m图象关于y轴对称，且函数f（x）=g（x）-2ax+1在x∈[-1，2]上的最小值为-2．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求实数a的值．

Answer 1

解：（1）由m²-m-1=1知m=2或m=-1．…（2分）
①当m=2时，g（x）=x²，符合题意；…（3分）
②当m=1时，g（x）=x^-1，不符合题意，舍去．…（4分）
∴g（x）=x²．…（5分）
（2）f（x）=x²-2ax+1=（x-a）²+1-a²．
①当a＜-1时，f（x）_min=f（-1）=2+2a=-2，∴a=-2；…（8分）
②当a＞2时，f（x）_min=f（2）=5-4a=-2，∴，与a＞2矛盾，舍去；…（11分）
③当-1≤a≤2时，，
∴或，又-1≤a≤2，∴．…（14分）
综上，a=-2或．…（15分）
分析：（1）根据幂函数的定义得出m²-m-1=1，结合幂函数g（x）图象关于y轴对称，求出m的值，从而得到g（x）的解析式；
（2）由（1）先表示出f（x）的解析式，再对a的值进行分类讨论，利用二次函数的最值即可求出a的值．
点评：本题主要考查了二次函数的性质、幂函数的概念、解析式、定义域、值域，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．