Question

（1）写出一元二次方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件
（2）二次函数y=ax²+bx+c的系数在集合A={-2，-1，0，1，2，3}中取值，且a，b，c互不相等，则共有多少条抛物线与x
轴的正、负半轴都有交点？
（3）在（2）的条件下，任取一条抛物线它恰与x轴的正、负半轴都有交点的概 率为多少？
（要求列出算式并写出结果，若无算式或算式不正确均不给分）

Answer 1

解：（1）一元二次方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是：ac＜0
先看充分性：当ac＜0时，方程根的判别式△=b²-4ac＞0，
并且方程ax²+bx+c=0的两根之积为x₁•x₂=＜0，因此方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根的两根；
再看必要性：当一元二次方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根时，不妨设x₁＜0且x₂＞0
则有两根之积为x₁•x₂=＜0，所以ac＜0．
综上所述，可得一元二次方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是：ac＜0．
（2）抛物线与x轴的正、负半轴都有交点，可得方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根，由（1）可知a、c的取值应该是一正一负．
因此先取a、c的值：在-2、-1中取一个数，再在1、2、3中取一个数，分别作为a、c的值，共2×3×2=12种取法；
再取b的值，有4种取法，所以a、b、c的取法一共有12×4=48种取法．
综上所述，共有48条抛物线与x轴的正、负半轴都有交点．
（3）因为a≠0，所以a的取值有-2，-1，1，2，3共五种取法，
再给b取值：由-2，-1，1，2，3剩下的4个值，再加上0，也有五种取法，
最后给c取值，共有4种取法．因此总共有5×5×4=100种不同的a、b、c的取法．
而根据（2）知，符合题意的a、b、c的取法共有48种，
所以任取一条抛物线它恰与x轴的正、负半轴都有交点的概率为P==0.48
分析：（1）首先给出题中的充要条件是：ac＜0．再给予证明，充分性：当ac＜0时，由一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，可得两根之积为负数，从而方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根；必要性：当一元二次方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根时，根据一元二次方程根与系数的关系，不难得到ac＜0．
（2）由（1）的结论，可得取出来的a、b、c值满足ac＜0即可，因此先取a、c的值，共2×3×2=12种取法；再取b的值，有4种取法，所以a、b、c的取法一共有12×4=48种取法．可得共48条抛物线与x轴的正、负半轴都有交点．
（3）先计算所有的系数a、b、c种数：因为a≠0，所以a的取值共五种取法，再给b取值，因为b可以取0，所以也有五种取法，最后给c取值，共有4种取法．因此总共有5×5×4=100种不同的a、b、c的取法．而根据（2）知，符合题意的a、b、c的取法共有48种，最后利用随机事件的概率公式，得到所求事件的概率为0.48．
点评：本题给出一元二次方程ax²+bx+c=0，通过探讨它有一正一负根的问题展开研究，求与x轴的正、负半轴都有交点的抛物线的条数，着重考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、排列组合的乘法原理和随机事件的概率等知识点，属于中档题．