Question

销售甲、乙两种商品所得利润分别为P（万元）和Q（万元），它们与投入资金t（万元）的关系有公式P=

1

5

t，Q=

4

5

t

，今将10万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x万元．
（1）建立总利润y（万元）关于x的函数关系式；
（2）求总利润的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于对甲种商品投资x万元，因此获利P=

1

5

x万元；因为总共投资10万元，所以对乙商品投资（10-x）万元，获利Q=

4

5

10-x

万元．即可得出总利润与投资x的关系式．
（2）令

10-x

=t，化简得y=-

1

5

t2+

4

5

t+2(0≤t≤

10

)，利用二次函数的单调性和取得最大值的条件即可得出，从而得出相应的x的值．

解答：解：（1）由于对甲种商品投资x万元，可知对乙商品投资（10-x）万元．根据相应利润与投资的关系可得
y=

1

5

x+

4

5

10-x

(0≤x≤10)，
（2）令

10-x

=t，化简得y=-

1

5

t2+

4

5

t+2(0≤t≤

10

)，
当t=-

4 5

2×(- 1 5 )

=2时，即

10-x

=2，解得x=6时，y取得最大值

14

5

．
答：总利润的最大值为

14

5

．

点评：本题考查了二次函数的单调性、换元法、投资与获得利润之间的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．