【题目】已知正实数列a1,a2,…满足对于每个正整数k,均有,证明:
(Ⅰ)a1+a2≥2;
(Ⅱ)对于每个正整数n≥2,均有a1+a2+…+an≥n.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)利用已知条件可得,然后结合基本不等式可证;
(Ⅱ)利用数学归纳法进行证明.
证明:(Ⅰ)当k=1时,有,即,,
∵,数列为正实数列,
由基本不等式1,∴,
∴a1+a2≥2.
(Ⅱ)用数学归纳法:
由(Ⅰ)得n=2时,a1+a2≥2,不等式成立;
假设当n=k(k≥2)时,a1+a2+…+ak≥k成立;
则当n=k+1时,a1+a2+…+ak+ak+1≥k,
要证kk+1,即证1,
即为kak≥ak2+k﹣1,即为(ak﹣1)(k﹣1)≥0,
∵k≥2,∴k﹣1≥1,当ak﹣1≥0时,a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1,
∴对于每个正整数n≥2,均有a1+a2+…+an≥n.
当0<ak<1时,
∵对于每个正整数k,均有,
∴,则,
a1+a2+…+an+an+1an+1n﹣1+2=n+1.
综上,对于每个正整数n≥2,均有a1+a2+…+an≥n.
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【题目】已知函数,,(其中是自然对数的底数).
(1)若,求函数在上的最大值.
(2)若,关于x的方程有且仅有一个根,求实数k的取值范围.
(3)若对任意的、,,不等式都成立,求实数a的取值范围.
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【题目】矩形ABCD中,,沿对角线AC将三角形ADC折起,得到四面体,四面体 外接球表面积为,当四面体的体积取最大值时,四面体的表面积为( )
A.B.C.D.
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【题目】《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目,邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼。“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成,成员上至古稀老人,下至垂髫小儿,人数按照年龄分组统计如下表:
分组(年龄) | |||
频数(人) |
(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取人参加挑战,求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数;
(2)在(1)中抽出的人中,任选人参加一对一的对抗比赛,求这人来自同一年龄组的概率。
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【题目】已知是椭圆的左、右顶点,为椭圆的左、右焦点,点为椭圆上一点(点在第一象限),线段与圆相切于点,且点为线段的中点.
(1)求线段的长;
(2)求椭圆的离心率;
(3)设直线交椭圆于两点(其中点在第一象限),过点作的平行线交椭圆于点,交于点,求.
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【题目】如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有:( )
A.∥平面B.平面∥平面
C.直线与直线所成角的大小为D.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为(为参数,).以为极点,轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)已知曲线与曲线交于两点,且,求实数的值.
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【题目】如图,在直角梯形ABCD中,,,,,E为AB的中点.将沿CE折起,使点B到达点F的位置,且平面CEF与平面ADCE所成的二面角为.
(1)求证:平面平面AEF;
(2)求直线DF与平面CEF所成角的正弦值.
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