【题目】如图所示,四棱锥中,
底面
,
,
,
,
,
,
为
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
(1)在中,由余弦定理可解得:
所以,所以
是直角三角形,
又为等边三角形,所以
,所以
,即可证明
平面
;
(2):由(1)可知,以点
为原点,以
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,利用空间向量可求直线
与平面
所成角的正弦值.
(1)证明:因为,
,
,
所以,
,
在中,
,
,
,
由余弦定理可得:
解得:
所以,所以
是直角三角形,
又为
的中点,所以
又,所以
为等边三角形,
所以,所以
,
又平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)解:由(1)可知,以点
为原点,以
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,则
,
,
,
.
所以,
,
.
设为平面
的法向量,则
,即
设,则
,
,即平面
的一个法向量为
,
所以
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】党的“十八大”之后,做好农业农村工作具有特殊重要的意义.国家为了更 好地服务于农民、开展社会主义新农村工作,派调查组到农村某地区考察.该地区有100户农 民,且都从事蔬菜种植.据了解,平均每户的年收入为6万元.为了调整产业结构,当地政府决 定动员部分农民从事蔬菜加工.据统计,若动员户农民从事蔬菜加工,则剩下的继续 从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高
,而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为
万元.
(1)在动员户农民从事蔬菜加工后,要使剩下
户从事蔬菜种植的所有农民总年收 入不低于动员前100户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入,求
的取值范围;
(2)在(1)的条件下,要使这户农民从事蔬菜加工的总年收入始终不高于
户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入,求
的最大值.(参考数据:
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知动圆过定点
,并且内切于定圆
.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)若上存在两个点
,
,(1)中曲线上有两个点
,
,并且
,
,
三点共线,
,
,
三点共线,
,求四边形
的面积的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,,
是经过小城
的东西方向与南北方向的两条公路,小城
位于小城
的东北方向,直线距离
.现规划经过小城
修建公路
(
,
分别在
与
上),与
,
围成三角形区域
.
(1)设,
,求三角形区域
周长的函数解析式
;
(2)现计划开发周长最短的三角形区域,求该开发区域的面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(12分)已知函数 .
(1)若x=2是函数f(x)的极值点,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在 上为单调增函数,求a的取值范围;
(3)设m,n为正实数,且m>n,求证: .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数在区间
上有最小值1,最大值9.
(1)求实数a,b的值;
(2)设,若不等式
在区间
上恒成立,求实数k的取值范围;
(3)设),若函数
有三个零点,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).
(1)应收集多少位女生的样本数据?
(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率.
(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)设g(x)=log4,若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分14分)已知过原点的动直线与圆
相交于不同的两点
,
.
(1)求圆的圆心坐标;
(2)求线段的中点
的轨迹
的方程;
(3)是否存在实数,使得直线
与曲线
只有一个交点?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
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