Question

如图所示,已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的各棱长均为2,侧棱B₁B与底面ABC所成的角为,且侧面ABB₁A₁垂直于底面ABC.

(1)求证:AB⊥CB₁;

(2)求三棱锥B₁—ABC的体积;

(3)求二面角C—AB₁—B的大小.

Answer 1

(1)证明：如图(1)在平面ABB₁A₁内,过B₁作B₁D⊥AB于D,

                 (1)

∵侧面ABB₁A₁⊥平面ABC,

∴B₁D⊥平面ABC.

∴∠B₁BA是B₁B与底面ABC所成的角.

∴∠B₁BA=60°.

∵三棱柱的各棱长均为2,

∴△ABB₁是正三角形.

∴D是AB的中点.连结CD,在等边△ABC中,CD⊥AB,

∴AB⊥平面CDB₁.∴AB⊥CB₁.

(2)解：∵B₁D⊥平面ABC,

∴B₁D是三棱锥B₁—ABC的高,由B₁B=2,∠B₁BA=60°得B₁D=2sin60°=3,

∴=S_△ABC·B₁D

=(××2×2)·=1.

(3)解：∵△ABC是正三角形,CD⊥AB,CD⊥B₁D,

∴CD⊥平面ABB₁.

    在平面ABB₁中作DE⊥AB₁于E,连结CE,由三垂线定理知CE⊥AB₁,

∴∠CED为二面角C—AB₁—B的平面角.在Rt△CED中,CD=2sin60°=,连结BA₁交AB₁于O,则BO=.

∴DE=BO=.

∴tan∠CED==2.

∴所求二面角C—AB₁—B的大小为arctan2.