Question

设函数。
（1）若函数f（x）在x=1处取得极大值，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若对任意实数，m∈（0，+∞），不等式f'（x）>x²m²-（x²+1）m+x²-x+1 恒成立，求x的取值范围。

Answer 1

解：（1）f'（x）=m²x²-3x+（m+1）
由条件知f'（1）=0，
所以m²+m-2=0
故m=1或m=-2
当m=-2时，f（x）在x=1处取得极小值；
当m=1时，f（x）在x=1处取得极大值
综上可知，m=1，
f'（x）=x²-3x+2
由f'（x）≥0，得x≤1或x≥2，
故f（x）的单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）。
（2）由已知有m²x²-3x+（m+1）>x²m²-（x²+1）m+x²-x+1，
即m（x²+2）-x²-2x>0对任意m∈（0，+∞）恒成立，
令g（m）=（x²+2）m-x²-2x，
则函数g（m）是关于m的一次函数，
由x²+2>0，
故g（x）在（0，+∞）上为增函数，
只需g（0）=-x²-2x≥0，得-2≤x≤0，
即使原不等式恒成立的x的取值范围是-2≤x≤0。