Question

（A）若不等式|x+1|-|x-4|≥a+

4

a

，对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是

（-∞，4]∪[-1，0）

（B）已知直线l：

x=a+2t y=-1-t

（t为参数），圆C：ρ=2

2

cos（θ-

π

4

）（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l被圆C截得弦长为2，则a=

5±

5

．

Answer 1

分析：（A）由于|x+1|-|x-4|的最小值为5，可得-5≥a+

4

a

，即

(a+1)(a+4)

a

≤0，由此求得实数a的取值范围．
（B）把直线l的参数方程化为普通方程，把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线和圆的位置关系以及弦长2
求出a的值．

解答：解：（A）由于|x+1|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-1对应点的距离减去它到4对应点的距离，其最小值等于-5，
由题意可得-5≥a+

4

a

，即

(a+1)(a+4)

a

≤0，解得a≤-4或-1≤a＜0，
故答案为（-∞，4]∪[-1，0）．
（B）直线l：

x=a+2t y=-1-t

（t为参数），即 x+2y-a+2=0．圆C：ρ=2

2

cos（θ-

π

4

），
即 ρ²=2

2

ρcos（θ-

π

4

）=2ρcosθ+2ρsinθ．
故圆C：（x-1）²+（y-1）²=2，表示以（1，1）为圆心，以

2

为半径的圆．
 圆心到直线的距离d=

|1+2-a+2|

5

=

|a-5|

5

，
再由弦长2=2

r2-d2

=2

2- (a-5)2 5

，解得a=5±

5

，
故答案为 5±

5

．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，分式不等式的解法，直线和圆的位置关系，把参数方程化为普通方程的方法，
把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于中档题．