Question

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件，记动点P的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）过N（2，0）作直线l交曲线W于A，B两点，使得|AB|=2，求直线l的方程．
（3）若从动点P向圆C：x²+（y-4）²=1作两条切线，切点为A、B，令|PC|=d，试用d来表示，并求的取值范围．

Answer 1

解：（1）由，知点P的轨迹是以M（-2，0），N（2，0）为焦点，
实轴长为的双曲线．（2分）
即设
所以所求的W的方程为x²-y²=2（4分）
（2）若k不存在，即x=2时，可得A（2，），B（2，-），|AB|=2满足题意；（5分）
若k存在，可设l：y=k（x-2）
联立，?（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0
由题意知?k∈R且k≠±1（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=
即=2?k=0即l：y=0（8分）
所以直线l的方程为x=2或y=0（9分）
（3）=；
又d²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18=2（y-2）²+10≥10
则=
∵d²≥10（13分）在是增函数，
∴
则所求的的范围为（16分）
分析：（1）由，知点P的轨迹是以M（-2，0），N（2，0）为焦点，实轴长为的双曲线．由此能求出W的方程．
（2）若k不存在，即x=2时，可得A（2，），B（2，-），|AB|=2满足题意；若k存在，可设l：y=k（x-2），联立，得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0．由题意知，k≠±1．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=．由此能求出直线l的方程．
（3）=，由d²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18=2（y-2）²+10≥10，知=，由此能求出的范围．
点评：本题考查双曲线方程和直线方程的求法，求的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用圆锥曲线的性质和向量数量积计算公式，合理地进行等价转化．