Question

（14分）对于函数,若存在，使成立，则称点，

为函数的不动点.

（1）若函数有不动点,求的解析表达式;

（2）若对于任意实数,函数总有2个相异的不动点,求实数的取值范围;

（3）若定义在上的函数满足,且存在(有限的)个不动点,求证:必为奇数.

Answer 1

解(1)由不动点定义有即  ………………(2分)

将代入得：       解得. 

此时         …………………………………………………………… (4分)

(2)由条件知,对任意的实数,方程总有两个相异的实数根.

∴恒成立             ……………………………………(6分)

即对任意实数,  恒成立.

从而, 解得……………………………………… (9分)

(3)显然点是函数在上的一个不动点………………………………… (10分)

若有异于的不动点,.则,

又则也是在上的一个不动点………(12分)

所以, 的有限个不动点除原点外,都是成对出现的,有个,则在上

共有个不动点.因此,为奇数…………………………………………………(14分)