Question

设S_n是各项均为非零实数的数列{a_n}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{a_n}是等差数列；命题q：等式

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

kn+b

a1an+1

对任意n（n∈N^*）恒成立，其中k，b是常数．
（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；
（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；
（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{a_n}满足条件

a

21

+

a

2n+1

≤M，试求S_n的最大值．

Answer 1

（1）设{a_n}的公差为d，则原等式可化为

1

d

（

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

）=

kn+b

a1an+1

，
所以

1

d

•

nd

a1an+1

=

kn+b

a1an+1

，
即（k-1）n+b=0对于n∈N^*恒成立，所以k=1，b=0．…（4分）
（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，即“若

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

n

a1an+1

①对于任意的n（n∈N^*）恒成立，则{a_n}为等差数列”．
当n=1时，

1

a1a2

=

1

a1a2

显然成立．…（6分）
当n≥2时，若

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an+1

②，
由①-②得，

1

anan+1

=

1

a1

（

n

an+1

-

n-1

an

），即na_n-（n-1）a_n+1=a₁③．
当n=2时，a₁+a₃=2a₂，即a₁、a₂、a₃成等差数列，
当n≥3时，（n-1）a_n-1-（n-2）a_n=a₁④，即2a_n=a_n-1+a_n+1．所以{a_n}为等差数列，即p是q的必要条件．…（10分）
（3）由

a

21

+

a

2n+1

≤M，可设a₁=rcosθ，a_n+1=rsinθ，所以r≤

M

．
设{a_n}的公差为d，则a_n+1-a₁=nd=rsinθ-rcosθ，
所以d=

rsinθ-rcosθ

n

，
所以a_n=rsinθ-

rsinθ-rcosθ

n

，
S_n=

(a1+an)n

2

=

(n+1)cosθ+(n-1)sinθ

2

r≤

(n+1)2+(n-1)2

2

•

M

=

2

2

M(n2+1)

，
所以S_n的最大值为

2

2

M(n2+1)

…（16分）