Question

【题目】已知函数.

（1）当时，判断函数的单调性；

（2）若存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）在单调递增；在上单调递减；（2）.

【解析】试题分析：（1）依据题设条件先求导再运用导数与函数的单调性之间的关系分析探求；（2）先将不等式进行等价转化，再构造函数运用导数的知识分析探求：

试题解析：

解：（1） .

当时，；

当时；当时.

故函数在单调递增；在上单调递减.

（2）因为存在，使得成立，

而当时，，

所以只要即可.

又因为，，的变化情况如下表所示：

所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值.

因为 ，

令，因为，

所以在上是增函数.

而，故当时，，即；

当时，，即.

所以，当时，，即，

函数在上是增函数，解得；

当时，，即，

函数在上是减函数，解得.

综上可知，所求的取值范围为.