Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且对一切n∈N⁺，a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²；
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）若b_n=2ⁿ+（-1）ⁿm•a_n是递增数列，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列的函数特性,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用已知条件通过n=1，2，3，即可求a₁，a₂，a₃的值；
（2）写出

a

3 1

+

a

3 2

+…+

a

3 n

+

a

3 n+1

=

S

2 n+1

，通过作差，推出a_n+1-a_n=1（n≥2），然后求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）化简b_n=2ⁿ+（-1）ⁿm•a_n表达式，利用递增数列，得到m的不等式，通过构造函数然后求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵a_n＞0，令n=1得，

a

3 1

=

S

2 1

=

a

2 1

⇒a1=1
令n=2得，

a

3 1

+

a

3 2

=

S

2 2

⇒1+

a

3 2

=(1+a2)2⇒a2=2
令n=3得，

a

3 1

+

a

3 2

+

a

3 3

=

S

2 3

⇒1+8+

a

3 3

=(3+a3)2⇒a3=3
（2）

a

3 1

+

a

3 2

+…+

a

3 n

=

S

2 n

…①

a

3 1

+

a

3 2

+…+

a

3 n

+

a

3 n+1

=

S

2 n+1

…②
由②-①：

a

3 n+1

=

S

2 n+1

-

S

2 n

=(Sn+1-Sn)(Sn+1+Sn)=an+1(Sn+1+Sn)
∴

a

2 n+1

=Sn+1+Sn，

a

2 n

=Sn+Sn-1(n≥2)
∴

a

2 n+1

-

a

2 n

=an+1+an⇒an+1-an=1(n≥2)
又a₂-a₁=1，
∴{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列
∴an=n(n∈N+)
（3）由（2）得：bn=2n+(-1)nm•n，又{b_n}是递增数列，
即：bn＜bn+1(n∈N+)恒成立；
当n=2k（k∈N⁺）时，bn＜bn+1(n∈N+)?m＜

4k

4k+1

(k∈N+)恒成立，
设ck=

4k

4k+1

，ck+1-ck=

4k(12k-1)

(4k+1)(4k+5)

＞0⇒ck＜ck+1⇒m＜

4

5

；
同理，当n=2k-1（k∈N⁺）时，bn＜bn+1(n∈N+)恒成立?m＞-

4k

2(4k-1)

(k∈N+)?m＞-

2

3

；
综上可得：m∈(-

2

3

，

4

5

)

点评：本题考查数列与函数的综合应用，数列的通项公式的求法，考查恒成立的知识，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想．