Question

如图，过原点O的直线与函数y=3^x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y=9^x的图象于点C，若AC恰好平行于y轴，则点A的坐标为

（log₃2，2）

．

Answer 1

分析：先设A（n，3ⁿ），B（m，3^m），则由过B作y轴的垂线交函数y=9^x的图象于点C写出点C的坐标，根据A，B，O三点共线．利用斜率相等即可求得点A的坐标．

解答：解：设A（n，3ⁿ），B（m，3^m），
由9^x=3^m=3^2x，即m=2x，
解得x=

m

2

，即C（

m

2

，3^m）．
∵AC平行于y轴，∴n=

m

2

，m=2n，
∴A（

m

2

，3ⁿ），B（m，3^m）．
又A，B，O三点共线．
∴k_OA=k_OB，
∴

3m

m

=

3n

m 2

=，∴3^m=2•3ⁿ=3²ⁿ，
即3ⁿ=2，
即n=log₃2，
∴3n=3log32=2，
故点A的坐标是（log₃2，2）．
故答案为：（log₃2，2）．

点评：本题主要考查了指数函数的图象与性质、直线的斜率公式、三点共线的判定方法等，综合性较强．