Question

给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求的取值范围；
（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，试判断l₁，l₂是否垂直？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆和其“准圆”的标准方程及其定义即可得出；
（2）先设出点B、D的坐标并求出点A的坐标，利用向量的数量积得出，再利用点B在椭圆上即可得出其取值范围；
（3）通过分类讨论，假设在椭圆C的“准圆”上任取一点P作直线与椭圆相切，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系求出直线是否满足两条直线垂直的条件即可．
解答：解：（1）由题意可得：，，b=1，∴r==2．
∴椭圆C的方程为，其“准圆”的方程为x²+y²=4；
（2）由“准圆”的方程为x²+y²=4，令y=0，解得x=±2，取点A（2，0）．
设点B（x，y），则D（x，-y）．
∴=（x-2，y）•（x-2，-y）=，
∵点B在椭圆上，∴，∴，
∴==，
∵，∴，
∴，即的取值范围为
（3）①当过准圆上点P的直线l与椭圆相切且其中一条直线的斜率为0而另一条斜率不存在时，则点P为，此时l₁⊥l₂；
②当过准圆上的点P的直线l的斜率存在不为0且与椭圆相切时，设点P（x，y），直线l的方程为m（y-y）=x-x．
联立消去x得到关于y的一元二次方程：
，
∴-=0，
化为，
∵，m存在，∴m₁m₂=．
∵点P在准圆上，∴，∴，
∴m₁m₂═-1．
即直线l₁，l₂的斜率，因此当过准圆上的点P的直线l的斜率存在不为0且与椭圆相切时，直线l₁⊥l₂．
综上可知：在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，l₁⊥l₂．
点评：熟练掌握椭圆和圆的标准方程及其定义、向量的数量积、直线与椭圆相切问题时联立直线与椭圆的方程得出根与系数的关系、两条直线垂直的条件是解题的关键．