Question

分别以双曲线的焦点为顶点，以双曲线G的顶点为焦点作椭圆C．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P的坐标为（0，3），在y轴上是否存在定点M，过点M且斜率为k的动直线l 交椭圆于A、B两点，使以AB为直径的圆恒过点P，若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）确定双曲线的焦点为（±5，0），顶点为（±4，0），从而可得椭圆的顶点与焦点，进而可求椭圆方程；
（Ⅱ）假设存在M（0，a），过点M且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，使以AB为直径的圆恒过点P，AB方程为y=kx+a，代入方程，消去y，得（9+25k²）x²+50akx+25a²-225=0，利用韦达定理结合，即可知M点的坐标存在．
解答：解：（Ⅰ）双曲线的焦点为（±5，0），顶点为（±4，0），
所以所求椭圆方程为…（5分）
（Ⅱ）假设存在M（0，a），过点M且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，使以AB为直径的圆恒过点P，
AB方程为y=kx+a，代入方程，
消去y，得（9+25k²）x²+50akx+25a²-225=0，…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x₁+x₂=，x₁x₂=…（9分）
=x₁x₂+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9
=x₁x₂+（kx₁+a）（kx₂+a）-3k（x₁+x₂）-6a+9=（k²+1）x₁x₂+k（a-3）（ x₁+x₂）+a²-6a+9
=（k²+1）+k（a-3）+a²-6a+9
由以AB为直径的圆恒过点P，可得，得17a²-27a-72=0，
∴（17a+24）（a-3）=0…（12分）
∴a=3，或a=
∵点P的坐标为（0，3），过点M且斜率为k的动直线l 交椭圆于A、B两点
∴a=
故M点的坐标存在，M的坐标为（0，）…（13分）
点评：本题考查双曲线、椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查恒成立问题的处理，解题要细心．