Question

（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点
（Ⅰ）求点C到平面A₁ABB₁的距离；
（Ⅱ）若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁-CD-C₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由题意，由于可证得CD⊥平面A₁ABB₁．故点C到平面的距离即为CD的长度，易求；
（II）解法一：由题意结合图象，可通过作辅助线先作出二面角的平面角∠A₁DD₁，然后在直角三角形A₁D₁D中求出二面角的余弦；
解法二：根据几何体的形状，可过D作DD₁∥AA₁交A₁B₁于D₁，在直三棱柱中，可得DB，DC，DD₁两两垂直，则以D为原点，射线DB，DC，DD₁分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz．给出各点的坐标，分别求出两平面的法向量，求出两向量的夹角即为两平面的夹角．

解答：解：（I）由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB．又CD⊥AA₁．
故CD⊥平面A₁ABB₁．
所以点C到平面A₁ABB₁的距离为CD=

BC2-BD2

=

5

（II）解法一：如图1，取D₁为A₁B₁的中点，连接DD₁，则DD₁∥AA₁∥CC₁．
又由（I）知CD⊥平面A₁ABB₁．故CD⊥A₁D，CD⊥D₁D，所以∠A₁DD₁为所求的二面角A₁-CD-C₁的平面角．因A₁D为A₁C在面A₁ABB₁中的射影，又已知AB₁⊥A₁C由三垂线定理的逆定理得AB₁⊥A₁D．从而∠A₁AB₁、∠A₁DA都与∠B₁AB互余．因此∠A₁AB₁=∠A₁DA，所以Rt△A₁AD∽Rt△B₁A₁A．因此AA₁：AD=A₁B₁：AA₁，即AA₁²=AD•A₁B₁=8，得AA₁=2

2

，从而A₁D=

AA 12+AD2

=2

3

．所以Rt△A₁D₁D中，cos∠A₁DD₁=

DD 1

A 1D

=

AA 1

A 1D

=

6

3

解法二：如图2，过D作DD₁∥AA₁交A₁B₁于D₁，在直三棱柱中，有DB，DC，DD₁两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD₁分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz．
设直三棱柱的高为h，则A（-2，0，0），A₁（-2，0，h），B₁（2，0，h），C（0，

5

，0），C₁（0，

5

，h），从而

AB 1

=（4，0，h），

A 1C

=（2，

5

，-h）
由AB₁⊥A₁C，可得8-h²=0，h=2

2

，故

DA 1

=（-2，0，2），

CC 1

=（0，0，2

2

），

DC

=（0，

5

，0）
设平面A₁CD的法向量为

m

=（x₁，y₁，z₁），则有

m

⊥

DC

，

m

⊥

DA 1

∴

m

•

DC

=0且

m

•

DA 1

=0，即

5 y1=0 -2x1+2 2 x1=0

，取z₁=1，则

m

=（

2

，0，1）
设平面C₁CD的法向量为

n

=（x₂，y₂，z₂），则

n

⊥

DC

，

n

⊥

CC 1

，即

5

y2=0且2

2

z2=0，取x₂=1，得

n

=（1，0，0），
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m ||  n |

=

2

2+1 ×1

=

6

3

，所以二面角A₁-CD-C₁的平面角的余弦值

6

3

点评：本题考查二面角的求法及点到面距离的求法，点到面的求法一般是作垂线，垂线段的长度即所求，二面角的余弦值的求法有两种，一种是几何法，找到二面角平面角所在的三角形，解三角形求出角的余弦值，第二种方法是现在比较常用的方法向量法，其特征是思维量小，计算量大，作题时对这两种方法要根据题设灵活选用