Question

有下列几个命题：
①函数y=

1

x+1

在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是减函数；
②已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
③已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x(1+

3	x

)，则当x＜0时，f(x)=-x(1-

3	x

)；
④已知定义在R上函数f（x）满足对?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，则f（x）是R上的增函数；⑤如果a＞1，则函数f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）有两个零点．
其中正确命题的序号是

 

．（写出全部正确结论的序号）

Answer 1

分析：分别利用函数的单调性与单调区间的性质，可以判断（1）（2）（4）的正误，利用函数的奇偶性和函数零点的结论，可以判断出（3）（5）的正误，最后可以得出正确命题的序号．

解答：解：对于①，函数y=

1

x+1

的图象有两支，所以单调减区间应该是（-∞，-1）和（-1，+∞）上是减函数，不能用并集符号，是假命题；
对于②，由a+b＞0得a＞-b，根据增函数性质得f（a）＞f（-b），同理可得f（b）＞f（-a），两式相加可得f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b），②是真命题；
对于③当x＜0时，-x＞0，故f（-x）=-x（1+

3	-x

）=-f（x），因此f（x）=-x(1-

3	x

)，③是真命题；
对于④，对?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），可以先取y=0，得f（x+0）=f（x）+f（0）⇒f（0）=0
再取y=-x，得f（x+（-x））=f（x）+f（-x）=0，所以函数为奇函数，
再用单调性的定义结合当x＞0时，f（x）＞0，可以证得f（x）是R上的增函数；
对于⑤，f（x）=a^x-x-a=0等价于：a^x=x+a，由于a＞1，可在同一坐标系内作出方程两边对应的图象，可得两个图象有两个公共点，所以⑤是真命题．
故答案为②④⑤

点评：本题着重考查了函数的奇偶性和单调性的判断、函数的零点和命题真假的判断等问题，属于综合题．