Question

已知两点M（1，

5

4

），N（-4，-

5

4

），给出下列曲线方程：
①4x+2y-1=0
②x²+y²=3
③

x2

2

+y2=1
④

x2

2

-y2=1
在曲线上存在P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是

②③④

．

Answer 1

分析：求出线段MN的垂直平分线方程，然后分别和题目给出的四条曲线方程联立，利用判别式判断直线和曲线的交点情况，从而判断给出的曲线上是否存在点P，使得|MP|=|NP|．

解答：解：由M（1，

5

4

），N（-4，-

5

4

），
得kMN=

5 4 -(- 5 4 )

1-(-4)

=

1

2

，M、N的中点坐标为（-

3

2

，0），
∴MN的垂直平分线方程为y-0=-2（x+

3

2

），即y=-2x-3．
①∵直线y=-2x-3与直线4x+2y-1=0平行，∴直线4x+2y-1=0上不存在点P，使|MP|=|NP|；
②联立

y=-2x-3 x2+y2=3

，得5x²+12x+6=0，△=12²-4×5×6=24＞0．
∴直线y=-2x-3与x²+y²=3有交点，曲线x²+y²=3上存在点P满足|MP|=|NP|；
③联立

y=-2x-3 x2 2 +y2=1

，得9x²+24x+16=0，△=24²-4×9×16=0．
∴直线y=-2x-3与

x2

2

+y2=1有交点，曲线

x2

2

+y2=1上存在点P满足|MP|=|NP|；
④联立

y=-2x-3 x2 2 -y2=1

，得7x²+24x+20=0，△=24²-4×7×20=16＞0．
∴直线y=-2x-3与

x2

2

-y2=1有交点，曲线

x2

2

-y2=1上存在点P满足|MP|=|NP|．
∴曲线上存在P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是②③④．
故答案为：②③④．

点评：本题考查了曲线与方程，训练了线段的垂直平分线方程的求法，考查了利用判别式法判断两条曲线的位置关系，是中档题．