Question

如图，A、B分别是椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的上、下两顶点，P是双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1上在第一象限内的一点，直线PA、PB分别交椭圆于C、D点，如果D恰是PB 的中点．
（1）求证：无论常数a、b如何，直线CD的斜率恒为定值；
（2）求双曲线的离心率，使CD通过椭圆的上焦点．

Answer 1

分析：（1）设P点坐标为（x₀，y₀），根据题意写出A、B坐标分别是（0，a）、（0，-a），而D是PB的中点，根据中点坐标公式，写出点D的坐标，并代入椭圆方程，解方程组即可求得点D的坐标，联立直线和椭圆方程，求得点C的坐标，即可求得直线CD的斜率；
（2）当CD过椭圆焦点(0，

a2-b2

)时，则

a2-b2

=

a

2

，∴b=

3

4

a2，根据c²=a²+b²，即可求得双曲线的离心率．

解答：解：（1）设P点坐标为（x₀，y₀），又A、B坐标分别是（0，a）、（0，-a）
而D是PB的中点，∴D点坐标为（

x0

2

，

y0-a

2

），
把D点坐标代入椭圆方程，得：

(y0-a)2

a2

+

x 2 0

b2

=4    ①
又

y 2 0

a2

-

x 2 0

b2

=1      ②
由①②解得，y₀=2a（y₀=-a舍去）x0=

3

b，∴P点坐标为(

3

b，2a)
故kPA=

y0-a

x0

=

a

3 b

，直线PA的方程是y=

a

3 b

x+a与

y2

a2

+

x2

b2

=1联立，解得
C点坐标为(-

3 b

2

，

a

2

)，又D点坐标为(

3

2

b，

a

2

)
∴C、D两点关于y轴对称，故无论a、b如何变化，都有CD∥x轴，直线CD的斜率恒为常常0．
（2）当CD过椭圆焦点(0，

a2-b2

)时，
则

a2-b2

=

a

2

，∴b=

3

4

a2，
双曲线中，c=

a2+b2

=

7

2

a，
∴双曲线的离心率e=

c

a

=

7

2

．

点评：此题是个中档题．考查椭圆和双曲线的简单的几何性质，以及双曲线的离心率的求解，以及直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强．