Question

已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

   （1）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

   （2）求二面角A-ED-B的正弦值；

（3）求此几何体的体积V的大小.

Answer 1

（1）（2）（3）16

解析:

证明：（1）取EC的中点是F，连结BF，

则BF//DE，∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．

在△BAF中，AB=，BF=AF=．∴．

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．………5分

   （2）AC⊥平面BCE，过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．

可得DE⊥平面ACG，从而AG⊥DE

∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角．

在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，ＣG=

∴．∴．

∴二面角A-ED-B的的正弦值为．…………………………10分

（3）

∴几何体的体积V为16．………………………………………15分

方法二：（坐标法）（1）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（0，0，4）

，∴

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．………5分

（2）平面BDE的一个法向量为，

设平面ADE的一个法向量为，

∴

从而,

令，则,

∴二面角A-ED-B的的正弦值为．…………………………10分

（3），∴几何体的体积V为16．……………15分