Question

已知函数f(x)是R上的增函数,a、b∈R.

(1)证明命题“如果a+b≥0,那么f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)成立”;

(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.

Answer 1

(1)证明:当a+b≥0a≥-bb≥-a,且f(x)是R上的增函数,

∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).

∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).

(2)解析:逆命题“如果f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0”是正确的,下面用反证法证明.

若a+b＜0,则a＜-b,b＜-a.又f(x)是R上的增函数,

∴f(a)+f(b)＜f(-a)+f(-b),这与条件f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)矛盾.

∴a+b≥0成立.