Question

已知向量，函数f（x）=a•b，（x∈R），
（Ⅰ）将函数y=2sinx的图象做怎样的变换可以得到函数f（x）的图象？
（Ⅱ）求函数f（x）区间[0，]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若，求cos2x₀的值．

Answer 1

解：（Ⅰ） f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+）
将函数y=2sinx的图象向左平移个单位，再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得到函数f（x）=2sin（2x+）的图象
（或将函数y=2sinx的图象上各点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，再把所得函数图象向左平移个单位，可得到函数f（x）=2sin（2x+）的图象）
（Ⅱ）f（x）=2sin（2x+），x∈[0，]∴2x+]
所以函数f（x）在区间[0，]上单调递增，在区间[]上单调递减，
当2x+，即x=时，函数f（x）有最大值2，
当2x+，即x=时，函数f（x）有最小值-，
（Ⅲ） f（x₀）=]，即sin（2x₀+=
∵2x₀+]，又sin（2x₀+=＜sin
∴2x₀+，π），∴cos（2x₀+=，
∴cos2x₀=cos（2x₀+）=cos（2x₀+cos +sin（2x₀+）sin=-．
分析：（1）按照向量数量积的坐标表示，求出f（x）=2sin（2x+），再根据图象变化规律得到变换的方式．
（2）将看作整体，求出范围，再利用正弦函数单调性求最值．
（3）由已知sin（2x₀+=，将2x₀转化成（2x₀+） 再利用两角和与差的三角函数公式求解．
点评：本题考查向量的数量积运算，图象变换、正弦函数单调性、最值、两角和与差的三角函数．考查转化的思想、整体思想、计算能力．