Question

已知抛物线y²=x和三个点M（x₀，y₀）、P（0，y₀）、N（-x₀，y₀）（y₀≠x₀²，y₀＞0），过点M的一条直线交抛物线于A、B两点，AP、BP的延长线分别交曲线C于E、F，
（1）证明E、F、N三点共线；
（2）如果A、B、M、N四点共线，问：是否存在y₀，使以线段AB为直径的圆与抛物线有异于A、B的交点？如果存在，求出y₀的取值范围，并求出该交点到直线AB的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：设，
则直线AB的方程：，
即：，
因在AB上，所以，①
又直线AP方程：，
由得：，
所以，
同理，
所以直线EF的方程：，
令得，
将①代入上式得，即N点在直线EF上，所以E，F，N三点共线；
（2）解：由已知A、B、M、N共线，所以，
以AB为直径的圆的方程：，
由得，
所以，
要使圆与抛物线有异于A，B的交点，则，
所以存在，使以AB为直径的圆与抛物线有异于A，B的交点，
则，
所以交点T到AB的距离为。