Question

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=

π

2

，AD=

3

，EF=2．
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）设

AB

BE

=λ(λ＞0)，当λ取何值时，二面角A-EF-C的大小为

π

3

？

Answer 1

分析：（1）根据在一个平面上有两条相交直线与另一个平面的两条相交直线平行，得到两个平面平行，根据面面平行再推出线面平行．
（2）建立坐标系，设出BE=m，求出平面AFE法向量，根据线面垂直，得到平面的法向量，求出两个平面夹角是已知角度时的结果．

解答：解：（1）BE∥CF，AB∥CD且BE∩AB=B，FC∩CD=C，∴面ABE∥面CDF
又AE?面ABE，∴AE∥面CDF
（2）∵∠BCF=

π

2

，且面ABCD⊥面BEFC，∴FC⊥面ABCD
以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，设BE=m，由

AE

BE

=λ得AB=λm，
∴A(

3

，λm，0)，E(

3

，0，m)，F(0，0，m+1)，D(0，λm，0)
平面AFE法向量

n

=(λ，

3

3

λ)，又∵CD⊥面CEF
∴

CD

=(0，λm，0)是平面CEF的一个法向量，
∴cos

π

3

=

| CD • n |

| CD || n |

，即λ=

3

2

点评：本题考查用空间向量求两个平面间的夹角，本题解题的关键是求出两个平面的法向量，把解题的重点转移到数字的运算．