Question

如下图，PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．

(Ⅰ)求证：平面PAC⊥平面ABC；

(Ⅱ)求二面角M－AC－B的大小；

(Ⅲ)求三棱锥P－MAC的体积．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)∵ 　　∴， 　　又∵ 　　∴ 　　(Ⅱ)取的中点，则，连结， 　　∵，∴，从而 　　作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，， 　　从而为二面角的平面角 　　直线与直线所成的角为 　　∴ 　　在中，由余弦定理得 　　在中， 　　在中， 　　在中， 　　故二面角的平面角大小为 　　(Ⅲ)由(Ⅱ)知，为正方形 　　∴ 　　解法二：(Ⅰ)同解法一 　　(Ⅱ)在平面内，过作，建立空间直角坐标系(如下图) 　　由题意有，设， 　　则 　　由直线与直线所成的解为，得 　　，即，解得 　　∴，设平面的一个法向量为， 　　则，取，得 　　平面的法向量取为 　　设与所成的角为，则 　　显然，二面角的平面角为锐角， 　　故二面角的平面角大小为 　　(Ⅲ)取平面的法向量取为，则点A到平面的距离 　　∵，∴