Question

有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝，只留有一个透明窗用作通光孔，它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分，灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上，并且这两物体间距离为4.5 cm，灯丝距顶面距离为2.8 cm，为使卡门处获得最强烈的光线，在加工这种灯泡时，应使用何种曲线可使效果最佳?试求这个曲线方程.

Answer 1

思路分析：由于光线从灯丝发出，反射到卡门上光线应交于一点，这就是光线聚焦，只要把灯丝、卡门安在椭圆的2个焦点上，反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于卡门处，因而可获得强光.

解：采用椭圆旋转而成的曲面，如图建立直角坐标系，中心截口BAC是椭圆的一部分,设其方程为+=1,灯丝距顶面距离为p，由于△BF₁F₂为直角三角形，因而，|F₂B|²=|F₁B|²+|F₁F₂|²=p²+4c²，由椭圆性质有|F₁B|+|F₂B|=2a，所以a=(p+),

a=12(2.8+)≈4.05 cm,b=≈3.37 cm.∴所求方程为+=1.