Question

16．已知正项等比数列{a_n}满足：a₉=a₈+2a₇，若存在两项a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}•{a}_{n}}$=4a₁，则$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值为$\frac{11}{4}$．

Answer 1

分析 由a₉=a₈+2a₇，求出公比的值，利用存在两项a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}•{a}_{n}}$=4a₁，写出m，n之间的关系，结合基本不等式得到最小值，验证等号不成立后，进一步取满足条件的整数m，n求得$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值．

解答 解：设等比数列的公比为q（q＞0），
∵a₉=a₈+2a₇，
∴a₇q²=a₇q+2a₇，
∴q²-q-2=0，
∴q=2，
∵存在两项a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}•{a}_{n}}$=4a₁，
∴a_ma_n=16a₁²，
∴a₁q^m+n-2=16a₁，
∴q^m+n-2=16，∴2^m+n-2=16，
∴m+n=6，即$\frac{m}{6}+\frac{n}{6}=1$，
则$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$）•（$\frac{m}{6}+\frac{n}{6}$）
=$\frac{1}{6}+\frac{9}{6}+\frac{n}{6m}+\frac{9m}{6n}$=$\frac{5}{3}+\frac{n}{6m}+\frac{9m}{6n}≥\frac{5}{3}+2\sqrt{\frac{n}{6m}•\frac{9m}{6n}}$=$\frac{5}{3}+2×\frac{3}{6}=\frac{8}{3}$．
上式等号成立时，n²=9m²，即n=3m，而m+n=6，∴m=$\frac{3}{2}$，不成立，
∴m=1、n=5时，$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=$\frac{14}{5}$；
∴m=2、n=4时，$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=$\frac{11}{4}$．
∴最小值为$\frac{11}{4}$．
故答案为：$\frac{11}{4}$．

点评 本题是等差数列和等比数列的综合题，考查等比数列的通项和基本不等式的性质，是中档题．