Question

有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下：
在△ABC中，已知a=

3

，

c=

6 + 2

2

，2cos²（

A+C

2

）=（

2

-1）cosB，求角A．
经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，该题的答案A=60°是唯一确定的，试将条件补充完整，并说明理由．

Answer 1

分析：根据二倍角三角函数公式结合诱导公式化简整理，得cosB=

2

2

，所以B=45°．再分已知边b或已知边c两种情况加以讨论，结合三角形中大边对大角，可得只有已知c=

6 + 2

2

时A=60°，是唯一确定的解．

解答：解：∵2cos²（

A+C

2

）=（

2

-1）cosB，
∴1+cos（A+C）=（

2

-1）cosB，
即1-cosB=（

2

-1）cosB，整理得cosB=

2

2

又∵0°＜B＜180°，∴B=45°．-------------4分
接下来分两种情况讨论
（1）

b

sin450

=

3

sin600

⇒b=

2

，-------6分
检验：

b

sinB

=

a

sinA

?

2

sin450

=

3

sinA

?sinA=

3

2

，
又因为A∈（0，π），且a＞b，所以A=60° 或者A=120°，这与已知角A的解为唯一解矛盾．----8分
（2）B=45°，结合A=60°，得C=75°------------9分

c

sin750

=

3

sin600

⇒c=

6 + 2

2

----------------11分
检验：

c

sinC

=

a

sinA

?

6 + 2 2

sin750

=

3

sinA

?sinA=

3

2

，
又∵A∈（0，π），且c＞a，
∴A=60°，且此解是唯一解，符合题意--13分
综上所述，得破损处应该填上：c=

6 + 2

2

，能使角A有唯一解A=60°--14分

点评：本题给出三角形一边和一角，探索三角形有唯一解的问题，着重考查了运用正、余弦定理解三角形和三角恒等变换等知识，属于中档题．