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已知,其中a,b,x∈R.若f(x)=满足f()=2,且f(x)的图象关于直线x=对称.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)+log2k=0在区间[0,]上总有实数解,求实数k的取值范围.
【答案】分析:(I)由已知中,f(x)=,我们根据平面向量数量积公式,可以得到函数的解析式,(含参数a,b),进而根据f()=2,且f(x)的图象关于直线x=对称.我们可以构造关于a,b的方程,解方程即可求出a,b的值.
(II)若关于x的方程f(x)+log2k=0在区间[0,]上总有实数解,我们可以求出函数f(x)在区间[0,]上的值域,构造一个对数不等式,解不等式即可求出实数k的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)=
得,
∵f(x)的图象关于对称,∴
由①、②得,
(Ⅱ)由(Ⅰ)得=

,f(x)∈[0,3].
又∵f(x)+log2k=0有解,即f(x)=-log2k有解,
∴-3≤log2k≤0,解得,即
点评:本题考查的知识点是函数y=Asin(ωx+φ)解析式的求法,正弦型函数的值域,及对数的性质,其中根据已知求出函数f(x)的解析式是解答本题的关键.
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