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(2012•闵行区一模)将边长分别为1、2、3、…、n、n+1、…(n∈N*)的正方形叠放在一起,形成如图所示的图形,由小到大,依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、…、第n个阴影部分图形.容易知道第1个阴影部分图形的周长为8.设前n个阴影部分图形的周长的平均值为f(n),记数列{an}满足an=
f(n),当n为奇数
f(an-1) ,当n为偶数

(1)求f(n)的表达式;
(2)写出a1,a2,a3的值,并求数列{an}的通项公式;
(3)记bn=an+s(s∈R),若不等式
.
bn+1bn+1
bn+2bn
.
>0
有解,求s的取值范围.
分析:(1)由图形观察,得第n个阴影部分图形的周长为8n,利用等差数列的求和公式即可得到f(n)的表达式;
(2)根据题中an的表达式,不难写出它3项,再分n为奇数和n为偶数两种情况加以讨论,结合等差数列的通项公式,可得an关于n的分段函数的表达式;
(3)利用行列式乘法法则,得原不等式有解即bn+1(bn-bn+2)>0有解,再分n为奇数和n为偶数两种情况加以讨论,最后综合可得实数s的取值范围.
解答:解:(1)根据题意,第1个阴影部分图形的周长为8,第2个阴影部分图形的周长为16,…,
第n个阴影部分图形的周长为8n,(2分)
故f(n)=
8+8n
2
×n
n
=4n+4
.       (4分)
(2)a1=f(1)=8,a2=f(a1)=f(8)=36,a3=f(3)=20,
①当n为奇数时,an=f(n)=4n+4            (3分)
②当n为偶数时,an=f(an-1)=4an-1+4=4[4(n-1)+4]+4=16n+4,
∴an=
4n+4      n为奇数
16n+4    n为偶数
.                  (5分)
(3)bn=an+s=
4n+4+s      n为奇数
16n+4+s    n为偶数

.
bn+1bn+1
bn+2bn
.
>0
有解,即bn+1bn-bn+1bn+2=bn+1(bn-bn+2)>0有解,
①当n为奇数时,bn+1(bn-bn+2)>0即
[16(n+1)+4+s][4n+4+s-4(n+2)-4-s]>0,
亦即16(n+1)+4+s<0有解,故s<(-16n-20)max=-36         (3分)
②当n为偶数时,bn+1(bn-bn+2)>0即
即[4(n+1)+4+s][16n+4+s-16(n+2)-4-s]>0,
于是4(n+1)+4+s<0,故s<(-4n-8)max=-16.           (5分)
欲使
.
bn+1bn+1
bn+2bn
.
>0
有解,以上两种情况至少一个成立,
故s的取值范围是s<-16.                            (7分)
点评:本题以一个实际问题为例,考查了等差数列的通项与求和公式、二阶行列式的计算和不等式解集非空的讨论等知识,属于基础题.
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