Question

20．如图，已知圆G：x²+y²-2x-$\sqrt{2}$y=0经过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过椭圆外一点（m，0）（m＞a）且倾斜角为$\frac{5}{6}$π的直线l交椭圆于C，D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若$\overrightarrow{FC}$•$\overrightarrow{FD}$=0，求m的值．

Answer 1

分析 （1）依据题意可求得F，B的坐标，求得c和b，进而求得a，则椭圆的方程可得；
（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去，利用判别式大于0求得m的范围，设出C，D的坐标，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用直线方程求得y₁y₂，表示出$\overrightarrow{FC}$和$\overrightarrow{FD}$，运用数量积的坐标表示，解方程计算即可得到所求值．

解答 解：（1）圆G：x²+y²-2x-$\sqrt{2}$y=0过点F、B，
∴F（2，0），B（0，$\sqrt{2}$），即有c=2，b=$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{6}$，
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）设直线l：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-m），由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x-m）}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，
消y得2x²-2mx+（m²-6）=0，
由△＞0⇒-2$\sqrt{3}$＜m＜2$\sqrt{3}$，
又m＞$\sqrt{6}$⇒$\sqrt{6}$＜m＜2$\sqrt{3}$．
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），则x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-6}{2}$，
y₁y₂=$\frac{1}{3}$x₁x₂-$\frac{1}{3}$m（x₁+x₂）+$\frac{1}{3}$m²=$\frac{{m}^{2}-6}{6}$，
$\overrightarrow{FC}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{FD}$=（x₂-2，y₂），
∴$\overrightarrow{FC}$•$\overrightarrow{FD}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-6}{2}$-2m+4+$\frac{{m}^{2}-6}{6}$=0，
化简为m（m-3）=0，
解得m=0（舍去）或m=3，
故m=3．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，同时考查向量的数量积的坐标表示，注意韦达定理的运用，考查了学生综合运用所学知识解决实际问题的能力．