Question

若A、B是抛物线y²=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”；
（I）求点P（4，0）的“相关弦”的中点的横坐标；
（II）求点P（4，0）的所有“相关弦”的弦长的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用直线的点斜式、线段的垂直平分线、线段的中点坐标公式、斜率的计算公式、抛物线的标准方程即可得出；
（Ⅱ）利用直线的点斜式、线段的垂直平分线、线段的中点坐标公式、斜率的计算公式、抛物线的标准方程、直线与抛物线的方程联立、根与系数的关系、弦长公式即可得出．

解答：解：（I）设AB为点P（4，0）的任意一条“相关弦”，且点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，
弦AB的垂直平分线方程为y-

y1+y2

2

=-

x1-x2

y1-y2

(x-

x1+x2

2

)，
由题意它与x轴相交于点P（4，0），
令y=0⇒4=

y1+y2

2

y1-y2

x1-x2

+

x1+x2

2

，
∴4=

4(x1-x2)

2(x1-x2)

+

x1+x2

2

⇒4=2+

x1+x2

2

⇒

x1+x2

2

=2，
∴点P（4，0）的“相关弦”的中点的横坐标为2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可设中点为（2，y_m），这里ym=

y1+y2

2

直线AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

y 2 1 4 - y 2 2 4

=

4

y1+y2

=

2

ym

，
∴弦AB所在直线的方程是y-ym=

2

ym

(x-2)⇒y=

2

ym

x+(ym-

4

ym

)，
代入y²=4x中，整理得

4

y 2 m

x2-

16

y 2 m

x+(ym-

4

y   m

)2=0⇒4x2-16x+

y

2 m

(ym-

4

y   m

)2=0（*）
则x₁、x₂是方程（*）的两个实根，且x₁+x₂=4，x1x2=

y 2 m (ym- 4 y   m )2

4

，
设点P（4，0）的“相关弦”AB的弦长为l，则l2=(x1-x2)2+(y1-y2)2，
∴l2=(1+

4

y 2 m

)(x1-x2)2=(1+

4

y 2 m

)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+

4

y 2 m

)[16-

y

2 m

(ym-

4

y   m

)2]，
∴l2=-

y

4 m

+4

y

2 m

+32=-(

y

2 m

-2)2+36，
∴l_max=6．

点评：本题具有较强的综合性，用到的知识较多，熟练掌握直线的点斜式、线段的垂直平分线、线段的中点坐标公式、斜率的计算公式、抛物线的标准方程、直线与抛物线的方程联立、根与系数的关系、弦长公式等内容是解题的关键..