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    已知三点A、B、C的坐标分别为A(cosα，sinα)(α≠
    kπ
    4
    ，k∈Z)    ，B（3，0），C（0，3），若
    AB
    •
    AC
    =-1    ，求
    1+sin2α-cos2α
    1+tanα
    的值．
    分析：直接求出向量
    AB
    ，
    AC
    ，利用
    AB
    •
    AC
    =-1    ，推出sinα+cosα=
    2
    3
    ，然后利用二倍角公式，以及切化弦整理所求表达式，通过sinα+cosα=
    2
    3
    平方求出2sinαcosα=-
    5
    9
    ，得到结果．
    解答：解：
    AB
    =(3-cosα，-sinα)，
    AC
    =(-cosα，3-sinα    ）
    ∵
    AC
    •
    BC
    =-1    ，∴（cosα-3）•cosα+sinα（sinα-3）=-1（12分）
    整理得：sinα+cosα=
    2
    3
    ①（5分）
    1+sin2α-cos2α
    1+tanα
    =
    2sin2α+2sinαcosα
    1+
    sinα
    cosα

    =
    2sinαcosα(sinα+cosα)
    sinα+cosα
    =2sinαcosα    （10分）
    由①平方得1+2sinαcosα=
    4
    9
    ，∴2sinαcosα=-
    5
    9

    即
    1+sin2α-cos2α
    1+tanα
    =-
    5
    9
    （12分）
    点评：本题是中档题，以向量的数量积为载体，考查三角函数基本公式的应用，考查计算能力，转化思想．
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    AB
    •
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    1+tanα
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