Question

抛物线y²=2px(p＞0)的焦点为F，定点Q(4，0)，过F与x轴不垂直的直线交抛物线于A、B两点，AB中点为N，若=0，A、B两点到准线的距离之和为6.

(Ⅰ)求抛物线的方程；

(Ⅱ)设T为抛物线准线上任一点，O为坐标原点.求证：TA、TF、TB的斜率成等差数列.

Answer 1

解：(Ⅰ)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则N到准线的距离为

(|AA′|+|BB′|)=[(x₁+)+(x₂+)]=[(x₁+x₂)+p]=3  ①  

由

则K_NQ=

∴(x₁+x₂)-8=2p,   ② 

由①②得p=2,∴抛物线的方程为y²=4x. 

(Ⅱ)设T(-1,t),TA、TF、TB斜率分别为k₁、k₂、k₃,直线AB：x=my+1,

由得y²-4my-4=0,∴y₁y₂=-4,

∴k₁+k₃=

==-t,   

又∵k₂=-,∴k₁+k₃=2k₂,∴k₁、k₂、k₃成等差数列.