Question

图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：

         （1）求MN和PQ所成角的大小；

         （2）求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比；

         （3）求二面角M—NQ—P的大小。

Answer 1

（Ⅰ）60°（Ⅱ）1：6（Ⅲ）60°

解析:

（1）如图②，作出MN、PQ

         ∵PQ∥NC，又△MNC为正三角形

         ∴∠MNC＝60°

         ∴PQ与MN成角为60°

        

                                      

         即四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比为1：6

         （3）连结MA交PQ于O点，则MO⊥PQ

         又NP⊥面PAQM，∴NP⊥MO，则MO⊥面PNQ

         过O作OE⊥NQ，连结ME，则ME⊥NQ

         ∴∠MEO为二面角M—NQ—P的平面角

         在Rt△NMQ中，ME·NQ＝MN·MQ

         设正方体的棱长为a

        

        

         ∴∠MEO＝60°

         即二面角M—NQ—P的大小为60°。