Question

（Ⅰ）一动圆与圆F₁：x²+y²+6x+6=0相外切，与圆F₂：x²+y²-6x-18=0相内切求动圆圆心的轨迹曲线E的方程，并说明它是什么曲线．
（Ⅱ）过点（-3，0）作一直线l与曲线E交与A，B两点，若|AB|=

8

5

3

，求此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出动圆圆心的坐标，由圆与圆的关系得到等式|MF1|+|MF2|=4

3

，然后直接由椭圆的定义得方程；
（Ⅱ）设出直线方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积，代入弦长公式得直线的斜率，从而得到直线方程．

解答：解：（Ⅰ）设动圆圆心的坐标为M（x，y），半径为r，
由内切和外切的几何意义得，|MF1|=

3

+r，|MF2|=3

3

-r．
∴|MF1|+|MF2|=4

3

．
∴所求轨迹为椭圆，且2a=4

3

，2c=6，则b²=3．
∴方程为

x2

12

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）设直线方程为y=k（x+3），直线与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=k(x+3) x2+4y2=12

，得（1+4k²）x²+24k²x+（36k²-12）=0①
x1+x2=-

24k2

1+4k2

，x1x2=

36k2-12

1+4k2

．
∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

(- 24k2 1+4k2 )2-4• 36k2-12 1+4k2

=

8 3

5

．
解得：k=±1．
∴直线方程为y=±x+3．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的关系，训练了弦长公式的应用，考查了学生的计算能力，是中档题．