Question

已知球的直径为10cm，求它的内接圆锥体积的最大值，并求出此时圆锥的底面半径和高．

Answer 1

分析：设圆锥的底面半径为r，高为h，利用球心与截面圆心距，截面圆的半径球的半径满足的勾股定理，推出关系式，求出圆锥的体积表达式，利用导数求出函数的最大值．

解答：解：设圆锥的底面半径为r，高为h，则（h-5）²+r²=5²
∴r²=10h-h²（2分）
V_锥=

1

3

πr2h=

π

3

h(10h-h2)=

π

3

(10h2-h3)    （5分）
V′=

π

3

(20h-3h2)，令V′=0，
h=

20

3

，（7分）
h∈(0，

20

3

)，V′(h)＞0；h∈(

20

3

，10)，V′(h)＜0
V（h）在（0，

20

3

）上是增函数，在（

20

3

，10）是奇函数，
当h=

20

3

时，V（h）最大（9分）
Vmax=

4000π

81

，（11分）
此时h=

20

3

，r=

10 2

3

（12分）

点评：本题考查空间想象能力，转化思想与计算能力，导数求解函数的最大值的方法．