Question

2．如图F₁、F₂是椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1与双曲线C₂的公共焦点，A、B分别是C₁、C₂在第二、四象限的公共点，若四边形AF₁BF₂为矩形，则C₂的离心率是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 设|AF₁|=x，|AF₂|=y，利用椭圆的定义，四边形AF₁BF₂为矩形，可求出x，y的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：设|AF₁|=x，|AF₂|=y，
∵点A为椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=$\sqrt{3}$；
∴|AF₁|+|AF₂|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF₁BF₂为矩形，
∴$|A{F}_{1}{|}^{2}+|A{F}_{2}{|}^{2}=|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$，
即x²+y²=（2c）²=12，②
由①②得x=2-$\sqrt{2}$，y=2+$\sqrt{2}$．
设双曲线C₂的实轴长为2a′，焦距为2c′，
则2a′=|AF₂|-|AF₁|=y-x=2$\sqrt{2}$，2c′=2$\sqrt{3}$，
∴C₂的离心率是e=$\frac{c′}{a′}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF₁|与|AF₂|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．