Question

已知两点M（2，0）、N（-2，0），平面上动点P满足由|

MN

|•|

MP

|+

MN

•

MP

= 0
（1）求动点P的轨迹C的方程．
（2）是否存在实数m使直线x+my-4=0（m∈R）与曲线C交于A、B两点，且OA⊥OB？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），由|

MN

|•|

MP

|+

MN

•

MP

= 0，得4

(x-2) 2+y2

+(-4x-8)=0，由此能求出点P的轨迹C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将x=4-my，代入C的方程，得y²+8my-32=0，由x₁x₂+y₁y₂=16，知不存在实数m使OA⊥OB成立．

解答：解：（1）设P（x，y），由|

MN

|•|

MP

|+

MN

•

MP

= 0，
得4

(x-2) 2+y2

+(-4x-8)=0，
化简，得y²=8x，
∴点P的轨迹C的方程为y²=8x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将x=4-my，代入C的方程，得y²=32-8my，
即y²+8my-32=0，
∴y₁y₂=-32，x1x2=

y12

8

•

y22

8

=16，
x₁x₂+y₁y₂=16，
∵OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0，
∴不存在实数m使OA⊥OB成立．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．