Question

设数{a_n}的前n项和为S_n，若对任意的n∈N^*，有a_n＞0且 2Sn=

a

2 n

+an成立．
（1）求a₁、a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，令Tn=

Sn

cn

，若数列{T_n}为单调递增数列，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据对任意的n∈N^*，有a_n＞0且 2Sn=

a

2 n

+an成立，分别令n=1和n=2，能求出a₁，a₂的值．
（2）由2Sn=

a

2 n

+an，得2S_n+1=an+12+an+1，两式作差可得a_n+1-a_n-1=0，由此能求出数列{a_n}的通项公式a_n．
（3）由a_n=n，得Sn=

n(n+1)

2

，故T_n+1-T_n=

(n+1)(n+2)

2•cn+1

-

n(n+1)

2•cn

=

n+1

2•cn+1

(n+2-cn)，由此进行等价转化，能够求出实数c的取值范围．

解答：解：（1）∵对任意的n∈N^*，有a_n＞0且 2Sn=

a

2 n

+an成立，
∴2S₁=2a1=a12+a1，
即a12-a1=0，
解得a₁=0（舍），a₁=1．…（2分）
2S2=2(1+a2)=a22+a2，
整理，得a22-a2-2=0，
解得a₂=-1（舍），a₂=2．…（4分）
（2）∵2Sn=

a

2 n

+an，
∴2S_n+1=an+12+an+1，
两式作差可得2S_n+1-2S_n=2a_n+1=an+12+a_n+1-an2-（a_n+1+a_n）=0，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，…（6分）
因为a_n＞0，所以a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-1=0，…（8分）
所以数列{a_n}为等差数列，…（9分）
首项a₁=1，公差为1，所以a_n=n；…（10分）
（3）∵a_n=n，∴Sn=

n(n+1)

2

，…（11分）
∴T_n+1-T_n=

(n+1)(n+2)

2•cn+1

-

n(n+1)

2•cn

=

n+1

2•cn+1

(n+2-cn)，…（12分）
数列{T_n}为单调递增数列，
当且仅当T_n+1-T_n＞0?n+2-cn＞0?c＜

n+2

n

=1+

2

n

恒成立，…（14分）
即c≤1，…（15分）
显然c＞0，综上所述c∈（0，1]．…（16分）

点评：本题考查数列的首项和第二项的求法，考查数列通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．