Question

（2013•松江区一模）设f（x）是定义在R上的函数，对x∈R都有f（-x）=f（x），f（x）•f（x+2）=10，且当x∈[-2，0]时，f(x)=(

1

2

)x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）

• A．（1，2）
• B．（2，+∞）
• C．（1，

  3	4

  ）
• D．（

  3	4

  ，2）

Answer 1

分析：确定函数为周期函数，是定义在R上的偶函数，再将问题转化为函数y=f（x）与y=log_a（x+2）在区间（-2，6]上有三个不同的交点，即可求得结论．

解答：解：∵对于任意的x∈R，都有f（x）•f（x+2）=10，∴f(x+4)=

10

f(x+2)

=f(x)
∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．
∵对x∈R都有f（-x）=f（x），
∴函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（

1

2

）^x-1，在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，
∴函数y=f（x）与y=log_a（x+2）在区间（-2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：

又f（-2）=f（2）=3，则有 log_a4＜3，且log_a8＞3，解得：

3	4

＜a＜2，
故a的取值范围是（

3	4

，2）．
故选D．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，属于中档题．