Question

10．在平面直角坐标系xoy中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+（3-4m）（m∈R）恒有公共点，且要求使圆O的面积最小．
（1）求证：直线l过定点，并指出定点坐标；
（2）写出圆O的方程；
（3）圆O与x轴相交于A，B两点，圆内动点P使$\overrightarrow{PO}$²=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据直线方程为y=mx+（3-4m），得m（x-4）+3-y=0，x-4=0且3-y=0，即可证明直线必过定点；
（2）要使面积最小则定点一定在圆上，此时易求出圆的方程；
（3）根据圆与x轴相交，求出AB两点坐标，根据P在圆内以及由$\overrightarrow{PO}$²=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|，分别求出一个关系式，两个关系式联立即可求出y₀²的取值范围，最终判断出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围．

解答 （1）证明：∵直线方程为y=mx+（3-4m），
∴m（x-4）+3-y=0，
∴x-4=0且3-y=0，
∴得l过定点T（4，3）
（2）解：由题意，要使圆O的面积最小，定点T（4，3）在圆上
∴圆O的方程为：x²+y²=25
（3）解：∵圆O与x轴相交于A、B两点，
故A（-5，0）B（5，0）
设P（x₀，y₀）为圆内任意一点
故：x₀²+y₀²＜25            ①
$\overrightarrow{PA}$=（-5-x₀，-y₀），$\overrightarrow{PB}$=（5-x₀，y₀），
由$\overrightarrow{PO}$²=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|，∴x₀²+y₀²=$\sqrt{（{x}_{0}+5）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{0}-5）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$
整理得：x₀²-y₀²=$\frac{25}{2}$      ②
由①②得：0≤y₀²≤$\frac{25}{4}$
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x₀²-25）+y₀²=2y₀²-$\frac{25}{2}$
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$∈[-$\frac{25}{2}$，0）．

点评 本题考查向量的取值范围问题，涉及到直线与圆的位置关系，以及等比数列问题．通过圆内任意点坐标满足的两个关系最终确定向量的取值范围，属于难题．