Question

19．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{3}^{-x}，x≥0}\\{{3}^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$，则当x∈[1-a，+∞）时，不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 分析函数的奇偶性和单调性，可将x∈[1-a，+∞）时，不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，转化为x＞a恒成立，将恒成立问题转化为最值问题，易得实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{3}^{-x}，x≥0}\\{{3}^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$的图象如下图所示：

由图可得，函数在R上为增函数，且为奇函数，
∵当x∈[1-a，+∞）时，不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，
∴当x∈[1-a，+∞）时，不等式f（x-2a）＞-f（x）=f（-x）恒成立，
则1-a≤-x＜x-2a，
即1-a＞a，解得a＜$\frac{1}{2}$，
∴实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$）
故答案为：（-∞，$\frac{1}{2}$）

点评 本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中利用函数的性质，将已知中的不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，转化为x＞a恒成立，是解答的关键．