Question

对于数列A：a₁，a₂，a₃（a_i∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b₁，b₂，b₃，其中b_i=|a_i-a_i+1|（i=1，2），且b₃=|a₃-a₁|．这种“T变换”记作B=T（A），继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c_l，c₂，c₃，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
（Ⅰ）写出数列A：2，6，4经过5次“T变换”后得到的数列；
（Ⅱ）若a₁，a₂，a₃不全相等，判断数列A：a₁，a₂，a₃经过不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；
（Ⅲ）设数列A：400，2，403经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用已知条件直接写出数列A：2，6，4经过5次“T变换”后得到的数列；
（Ⅱ）若a₁，a₂，a₃不全相等，数列A：a₁，a₂，a₃经过不断的“T变换”不会结束，只需说明数列经过变换成为非零常数列；
（Ⅲ）设数列A：400，2，403经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．要抓住B经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“a，a+3，3”的数列，数列B经过6×22=132次“T变换”后得到的数列为2，5，3变换后使得各项的和最小，数列和的最小值为2，以后数列循环出现，数列各项和不会更小．k的最小值为136．

解答：解：（Ⅰ）依题意，5次变换后得到的数列依次为
4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2…（3分）
所以，数列A：2，6，4经过5次“T变换”后得到的数列为2，0，2，…（4分）
（Ⅱ）数列A经过不断的“T变换”不可能结束
设数列D：d₁，d₂，d₃，E：e₁，e₂，e₃，F：O，0，0，且T（D）=E，T（E）=F
依题意|e₁-e₂|=0，|e₂-e₃|=0，|e₃-e₁|=0，所以e₁=e₂=e₃
即非零常数列才能通过“T变换”结束．…①…（6分）
设e₁=e₂=e₃=e（e为非零自然数）．
为变换得到数列E的前两项，数列D只有四种可能
D：d₁，d₁+e，d₁+2e，D：d₁，d₁+e，d₁；D：d₁，d₁-e，d₁，D：d₁，d₁-e，d₁-2e；
而任何一种可能中，数列E的笫三项是O或2e．
即不存在数列D，使得其经过“T变换”成为非零常数列．…②…（8分）
由①②得，数列A经过不断的“T变换”不可能结束．
（Ⅲ）数列A经过一次“T变换”后得到数列B：398，401，3，其结构为a，a+3，3．
数列B经过6次“T变换”得到的数列分别为：3，a，a-3；a-3，3，a-6：a-6，a-9，3；3，a-12，a-9；a-15，3，a-12；a-18，a-15，3．
所以，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“a，a+3，3”的数列，变化的是，除了3之外的两项均减小18．    …（10分）
因为398=18×22+2，所以，数列B经过6×22=132次“T变换”后得到的数列为2，5，3．
接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；1，0，1，…．
至此，数列和的最小值为2，以后数列循环出现，数列各项和不会更小．…（12分）
所以经过1+132+3=136次“T变换”得到的数列各项和达到最小，
即k的最小值为136．   …（13分）

点评：此题需要较强的逻辑思维能力及计算能力，通过计算发现和归纳出其规律，进而得出答案．