Question

如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段BP上一点，∠CDP＝120°，AD=3，AP=5，PC=．
（Ⅰ）若F为BP的中点，求证：EF∥平面PDC；
（Ⅱ）若,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值

Answer 1

解（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO，
∵F,O分别为BP，PC的中点，
∴FO∥BC，且,
又ABCD为平行四边形,ED∥BC，且,
∴FO∥ED，且FO=ED
∴四边形EFOD是平行四边形  
即EF∥DO   又EF平面PDC  
∴EF∥平面PDC．
（Ⅱ）以DC为x轴，过D点做DC的垂线为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系，
则有D (0 ,0 , 0)，C（2，0，0）,B（2，0，3），P（，A（0，0，3）                
设，
∴则   
设平面PBC的法向量为则  即  
取y=1得

∴AF与平面PBC所成角的正弦值为.