Question

设定义域为R的函数f（x），g（x）都有反函数，且函数f（x-1）和g^-1（x-3）图象关于直线y=x对称，若g（5）=2005，则f（4）为（　　）

A．2002

B．2004

C．2007

D．2008

Answer 1

分析：根据函数f（x-1）和g^-1（x-3）图象关于直线y=x对称可得函数f（x-1）和g^-1（x-3）互为反函数故可令g-1（x-3）=y求出其反函数y=g（x）+3 则f（x-1）=g（x）+3然后令x=5再结合g（5）=2005即可得解．

解答：解：设g-1（x-3）=y 则g（g-1（x-3））=g（y）
∴x-3=g（y）
∴x=g（y）+3
得y=g（x）+3 （为g-1（x-3）的反函数）
又∵f（x-1）与g-1（x-3）的图象关于直线y=x对称
∴f（x-1）=g（x）+3
又 g（5）=2005
∴f（4）=f（5-1）=g（5）+3
∴f（4）=2008
故选D

点评：本题主要考察反函数的定义和性质．解题的关键是要利用互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称得出函数f（x-1）和g^-1（x-3）互为反函数然后依次得出f（x-1）=g（x）+3！