Question

如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上。现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地，
（Ⅰ）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；
（Ⅱ）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积。

Answer 1

解：（Ⅰ）如图甲，过S作SH⊥RT于H， ， 由题意，△RST在月牙形公园里， RT与圆Q只能相切或相离； RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， 则有RT≤4，SH≤2， 当且仅当RT切圆Q于P时（如图乙）， 上面两个不等式中等号同时成立， 此时，场地面积的最大值为 ；
（Ⅱ）同（Ⅰ）的分析，要使得场地面积最大， AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， AD必须切圆Q于P（如图丙）， 再设∠BPA=θ，则有 ， 令y=sinθ+sinθcosθ， 则y′=cosθ+cosθcosθ+sinθ（-sinθ）=2cos2θ+cosθ-1， 若y′=0，， 又时，y′＞0，时，y′＜0， 函数y=sinθ+sinθcosθ在处取到极大值也是最大值， 故时，场地面积取得最大值为。