Question

已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的正方形，高为．M为线段PC的中点．

(Ⅰ) 求证：PA∥平面MDB；

(Ⅱ) N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值．

 

Answer 1

本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。

(Ⅰ)证明：在四棱锥P－ABCD中，连结AC交BD于点O，连结OM，PO．由条件可得PO＝，AC＝2，PA＝PC＝2，CO＝AO＝．

 

因为在△PAC中，M为PC的中点，O为AC的中点，

所以OM为△PAC的中位线，得OM∥AP，

又因为AP平面MDB，OM平面MDB，

所以PA∥平面MDB．  …………6分

(Ⅱ) 解：设NC∩MO＝E，由题意得BP＝BC＝2，且∠CPN＝90°．

因为M为PC的中点，所以PC⊥BM，

同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD．

所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM，∠MEC为直线CN与平面BMD所成的角，

又因为OM∥PA，所以∠PNC＝∠MEC．

在Rt△CPN中，CP＝2，NP＝1，所以tan∠PNC＝，

故直线 CN与平面BMD所成角的正切值为2．         …………14分